ARS UNA

Connecting Arts, Religion and Sciences - Philosophy of Development

A modern Middle Way in Institutions and  Private Life  (in English and German)

Fraktomatik
Dualismus

Hat nicht nur in unserem Leben, sondern überall in der Natur alles “seine zwei Seiten”?  Wollen die Menschen eventuell bedeutende Konsequenzen daraus nicht zur Kenntnis nehmen, weil diese ihnen als zu schwerwiegend erscheinen?

Dass grundlegende menschliche Erkenntnisse und ebenso anschließende Folgerungen aus diesen eigentlich nicht eindeutig sein mögen und also überhaupt nicht allgemeingültig formuliert werden können, kommt einem Paradigmenwechsel gleich, der Autoritäten bedrohen und aber Fundamentalismus von vorne herein infrage stellen kann. Umgekehrt ist es jedoch kein Geheimnis, dass ein Großteil aller Menschen weder Autoritäten noch Fundamentalismus sehr schätzt.

Religionen vermieden von jeher diese beiden Themen fast völlig, in die Kunst fanden sie erst mit Leonardo da Vinci Eingang, und im modernen Leben haben sich die Geistes- und die Naturwissenschaften nur langsam dafür geöffnet. Die Geisteswissenschaften sprechen statt von zwei Seiten von Dialektik, die Naturwissenschaften von Dualismen. Selbst die Möglichkeit, dass diese beiden heute grundlegend erscheinenden Begriffe Ausdruck dessen sein könnten, dass alles „zwei Seiten hat“, scheint zumindest keinen Gefallen zu erregen. Doch der zwischen jeweils zwei Seiten liegende Weg ist die eigentliche Aufgabe und dasjenige, was uns Erkenntnis und gute Gefühle, Liebe und Leben bringt. Auf beiden Seiten dieses Weges lauern Gefahren und hängen Glücksbringer. Diese beiden Seiten werden aber vielleicht ganz sinnvoll als Dualismen bezeichnet. Wer mag, kann ebenso gut diese Sichtweise auch dialektisch nennen. Doch Dualismus ist der Basis aller modernen und erfolgreichen Naturbeschreibung näher, womit hier zunächst die nicht von allen geliebte Mathematik gemeint ist, aber kein Affront gegen die Geisteswissenschaften mit ihrem anderen Verständnis von Wissenschaft. Wie schaut es aber bei der Mathematik mit besagtem Dualismus aus?

Was könnte eine Fraktomatik nutzen?

Dualismus scheint in vielen Bereichen der Natur und damit auch des Lebens eine sehr viel größere Rolle zu spielen, als es anfänglich schien. Damit entsteht die Frage, ob dies auch in den grundlegenden Methoden der Beschreibung bereits seinen Ausdruck finden müsste, an erster Stelle in der Mathematik. Immer sinnvoller erscheint die Schaffung einer zu der bisherigen „klassischen“ Mathematik sich dual verhaltenden fraktalen Mathematik, für welche die Bezeichnung Fraktomatik vorgeschlagen wird.

Die klassische Mathematik hat in diesem Zusammenhang folgende wichtige Grundeigenschaften:

1. Nach einer anfänglichen darstellenden Geometrie (vor allem der Euklidischen Geometrie) wurde eine rechnerische Algebra entwickelt, für welche vor allem Potenzreihen charakteristisch sind,- genauer gesagt, eine lineare Algebra mit einer endlichen Zahl von Dimensionen ohne Topologie. Mit Hilfe von Funktionen konnten später auch in unendlich vielen Dimensionen die Eigenschaften von Zuständen oder Vorgängen in ausgewählten Koordinaten (in einer Topologie) in Abhängigkeit von Koordinaten von anderen Zuständen oder Vorgängen in anderen Koordinaten (in einer anderen Topologie) berechnet werden (statische oder dynamische Funktionsanalysis).

2. Die einfachen Rechnungsarten der Mathematik basieren auf Zahlen, welche in ihren wesentlichen Eigenschaften an diejenigen von Teilchen angelehnt sind. Dadurch eignet sie sich sehr gut zur Behandlung der Teilchenphysik, welche in ihrer historischen Entwicklung von der europäischen und arabischen Logik ausging und zunächst in die auf übersichtlichen einfachen Axiomen beruhende klassische Mechanik mündete.

3. Diese Rechnungen werden innerhalb von Koordinatensystemen dargestellt, in welchen die funktionellen Abhängigkeiten streng logisch innerhalb eines zu benennenden Geltungsbereichs bestimmt werden. Infolge der Anlehnung an die Teilchenphysik mögen Raum und Zeit sowie Massen vor allem in Anwendungen eine entscheidende Rolle spielen. Beim Verlassen des besagten Geltungsbereichs können Singularitäten Probleme hervorrufen, welche grundlegende Bedeutung haben.

Die vorgeschlagene Fraktomatik würde dem gegenüber wesentlich verschiedene Eigenschaften haben:

1. Aus der ein geschlossenes System darstellenden von Julia et al. und Mandelbrot  geschaffenen Geometrie (fraktale Geometrie) wurde bislang nur ansatzweise eine fraktale Algebra entwickelt, welche entsprechend auf Potenzreihen basiert und die Möglichkeit bieten sollte, Eigenschaften von Zuständen oder Vorgängen in einer bestimmten Generation einer Entwicklung in Abhängigkeit von den Verhältnissen in der vorherigen Generation zu bestimmen. Jedoch lässt sich die klassische Funktionsanalysis wo)  hl noch nicht ohne weiteres auf eine derartige neue Fraktomatik übertragen, um Eigenschaften einer neuen Generation aus denjenigen der vorhergehenden statisch oder dynamisch zu bestimmen.

2. Die einfachen Rechnungsarten der Fraktomatik müssten anstelle auf Zahlen auf Strukturen basieren, welche in ihren wesentlichen Eigenschaften an diejenigen von physikalischen Feldern angelehnt sind. Dadurch sollte sie sich sehr gut zur Behandlung der modernen Feldphysik eignen, welche in ihrer historischen Entwicklung zwar auch von der europäischen Logik ausging, sich damit aber schwer tat wegen ihrer Nähe zu den ganzheitlichen Vorstellungen von alles durchdringenden Feldern, ohne sich der damit verbundenen Nähe zu fernöstlichen Ideen voll bewusst zu sein. Sie mündete bislang in die ausgesprochen schwer verständliche, hochkomplexe Zusatzannahmen beinhaltende Quantenelektrodynamik.

3. Fraktale Rechnungen sollten Zustände oder Vorgänge im Koordinatensystem einer bestimmten Generation aus denjenigen im Koordinatensystem der vorhergehenden Generation bestimmen. Diese müssen aber nicht streng logisch zusammenhängen, weil sich am Generationsübergang Singularitäten befinden können. Infolge der Anlehnung an die Feldphysik spielen Massen primär keine Rolle und auch Raum und Zeit sind wegen der Abhängigkeit von Massen nicht grundlegende Koordinaten.

Aus diesen Feststellungen würden sich folgende Schlüsse ziehen lassen:

1. Wie bereits erwähnt ist die fraktale Geometrie ein in sich abgeschlossenes erfolgreiches System, welches jedoch bislang keine weitergehende Entwicklung wie diejenige von der Euklidischen Geometrie zur Algebra und Funktionsanalysis zuließ. Ein möglicher Grund ist das Festhalten an logischen Herleitungen entsprechend unserer westlichen Kultur. Ein weiterer Grund könnte in der traditionell bevorzugten Verwendung von Zahlen in der klassischen Mathematik liegen. Stattdessen könnte von Strukturen ausgegangen werden. Dazu müsste der verwendete Strukturbegriff hinterfragt und zumindest mathematisch und physikalisch konsistent verwendet werden.

2. Einen möglichen Ansatz zu einer passenden Erfassung von solchen Strukturen bieten Betrachtungen an der Riemannschen Zahlenkugel. Die Zahlbereiche der klassischen Mathematik sind im unteren Teil dieser Kugel angesiedelt. Mit Strukturen im hier gebrauchten Sinn sollen die spiegelbildlichen Operationen im oberen Teil der Kugel verstanden werden. Der Null entspricht also die Gesamtheit aller Elemente, das heißt die Grundstruktur des Mediums, in welchem Betrachtungen ausgeführt werden. Als masselose Löcher konzipierte Fehlstellen entsprechen jetzt den in Analogie zu Teilchen konzipierten Zahlen. Mit diesen kann im Prinzip ebenso wie mit Zahlen gerechnet werden, also zunächst noch nach logischen Regeln.

3. Wenn diese Vorgehensweise mit der typisch fraktalen Herleitung eines Zustands oder Vorgangs in einer bestimmten Generation aus demjenigen der vorhergehenden Generation kombiniert wird, dann geht der streng logische Zusammenhang gewöhnlich verloren wegen hoher Komplexität und sich ändernden Bedingungen, aber es wird ein neues Verständnis erzeugt. Eine solche ganzheitliche Betrachtungsweise ist vielerorts zu Unrecht als esoterisch verschrieen, mag jedoch nicht nur für feldtheoretische Überlegungen entscheidende Vorteile bieten. Der Übergang von einer Betrachtung unter Einbeziehung der Abhängigkeit von Massen zu einer anderen, in der dies nicht der Fall ist, kann sehr entscheidend für den Zusammenhang von Gravitationstheorien zu Feldtheorien sein.

Fraktale Mathematik als Disziplin?

Eine fraktale Analysis als gleichwertiges Pendant zur Funktionsanalysis im Sinne der in der Natur verwirklichten Mathematik gibt es bis heute nicht, sondern im Wesentlichen nur besagte fraktale Geometrie, die man trotz Unterschieden in etwa als Gegenstück zur Euklidischen Geometrie sehen könnte. Was eine derartige „vollständige“ fraktale Mathematik darüber hinaus leisten soll, ließ sich bislang kaum klar sagen.

Die Axiomatik dieser Mathematik muss nicht von gliedernder Logik ausgehen, sondern entsprechend dem Unterschied zwischen europäischem logischem und fern-östlichem ganzheitlichem Vorgehen stattdessen von komplexen Grundzuständen. Schlussendlich sollte man von der ganzheitlichen Denkart ausgehend sich der logischen entsprechend annähern können, wie man von einer logischen Basis aus mit fortgeschrittenen Methoden bereits komplexe Vorgänge erfassen kann. Das rüttelt erheblich an den Grundlagen allen abendländischen Denkens, geht auch über „reines“ Denken im Sinne von strenger Logik hinaus, ist deshalb aber absolut keine Esoterik, als die es gerne diffamiert wird.

Ein wesentlicher Punkt jeder fraktalen Betrachtungsweise ist der mögliche nahtlose Übergang von logischer analytischer zu komplexer synthetischer Sichtweise. Im Abendland besteht die tief verwurzelte und meist gar nicht als Wahl reflektierte Tradition, auf der logischen Seite anzufangen, was zunächst durchaus etwa mit den Erfolgen der Technik gerechtfertigt werden kann. Aber auf der anderen Seite bei den komplexen Vorgängen mit den axiomatischen Grundlagen einer solchen Fraktomatik zu beginnen, scheint für viele Mathematiker eben Esoterik, in Wirklichkeit jedoch völlig gleichwertig zu sein.

Ein konsequenter solcher Ansatz könnte anfangs schwierig erscheinen, genauso wie auch die Funktionsmathematik viel Zeit und Mühe zu ihrer heutigen Entwicklung gebraucht hat. Wegen des möglichen, jetzt trotz des Nachweises von Gravitationswellen noch nicht übersehbaren Zusammenhangs mit den ungelösten Problemen der Vereinigung zwischen Gravitationstheorie und Quantenelektrodynamik sollte aber der Anreiz zu weiterem Vorgehen in diese Richtung recht hoch sein.

Ein zentraler Punkt, bei dem die „klassische“ Funktionsmathematik zwar nicht völlig versagt aber durchaus schwierig wird, ist zum Beispiel eine rein mathematische, möglichst einfache Beschreibung von automatischer Strukturbildung bei genügender Komplexität ohne Zuhilfenahme von physikalischen oder anderen Voraussetzungen. Der Ausdruck Struktur wird in den verschiedensten Disziplinen des europäischen Kulturbereichs verwirrend unterschiedlich gebraucht, müsste sich jedoch auf diese Weise auf eine gemeinsame Wurzel zurückführen lassen. Die automatische, rein mathematisch beschreibbare Strukturbildung bei hoher Komplexität sollte dann nicht ein extrem schwer verständlicher Prozess, sondern ein einfacher Basisvorgang sein, wie es offensichtlich auch in der Natur der Fall ist.

Mögliche Basis in Mengen- und Zahltheorie

Das Null-Element der Fraktomatik wäre die Gesamtheit aller Elemente (im Cantor’schen Sinn), also die Gesamtstruktur. Um deren Elemente von den Zahlen zu unterscheiden, aber ihren Bezug zu diesen deutlich zu machen, können wir statt von einer Null von einer Sull sprechen, womit eine Struktur-Null assoziiert werden kann. In radikalerer Ausdrucksweise können wir sagen, dass das Sull-Element der Fraktomatik der Gesamtheit aller Elemente bei Beschreibung mit klassischer Mathematik entspricht, wobei hier mit Elementen aber Strukturen gemeint sind. Ein einzelnes Loch als masselose Struktur in dieser Sull ist dann die Struktur-Eins, Seins genannt, es folgen Swei, Srei, Sier und so fort. Freie Elemente außerhalb dieser Gesamtstruktur sind als negativ oder auch imaginär angesehene Teilstrukturen außerhalb der Sull-Struktur angesiedelt, also „freie Teilchen“, wobei es fast wie ein Witz vorkommt, dass in der Elektrizitätslehre zum Beispiel ebenso als frei bezeichnete Elektronen auch das negative Vorzeichen tragen. Es ist zum Beispiel sofort ersichtlich, dass sich einfachere Betrachtungsweisen für Leitungselektrizität eröffnen sollten.

Auf diese Art lässt sich die Entstehung natürlicher Strukturen einfacher erfassen. Die Sull-Menge der ganzen Welt wird damit beschrieben als duales Spiegelbild einer Darstellung durch die Gesamtheit aller Zahlen als Elemente. Dies ist eine von der Riemannschen Zahlenkugel wohlbekannte Vorstellung, wenn man auf ihr oben vom Punkt Unendlich ausgeht. Man fängt in besagter Fraktomatik also an, mit der Gesamtstruktur zu rechnen, und kommt erst später zu Elementen im überbrachten Sinn. Damit ergibt sich als Ausgangspunkt eine Erfassung der Ganzheitlichkeit, wie es beispielsweise auch eine ursprüngliche Absicht der pädagogischen Bemühungen vor etwa fünfzig Jahren war, Kindern vor der klassischen Mathematik Mengenlehre beizubringen. Man wollte gleich zu Anfang ihren Sinn für Ganzheitlichkeit schärfen, wie es der Umbruchzeit der 1968-er Jahre in Deutschland entsprach und wie es vor allem auch im afrikanischen und asiatischen Empfinden an vielen Stellen eh und je zum Ausdruck kommt.

Zahlbereiche haben als Teilsparten die natürlichen, ganzen, rationalen, reellen, komplexen und weitere Zahlen, wie auch ein weitgehender Laie bereits in entsprechenden Wikipedia-Artikeln nachlesen kann. Diese werden dort Strukturen genannt und sind durch zwischen ihnen existierende Relationen definiert. Die wichtigsten drei derartigen Strukturen sind in diesem Sinne algebraische, Ordnungs- und topologische Strukturen. Zahlbereiche zeichnen sich dadurch aus, dass sie alle diese drei Strukturen haben, die untereinander zusammenhängen. Diese mathematischen Strukturen sind jedoch nicht identisch mit den natürlichen Strukturen in der besagten Darstellung auf der Riemannschen Kugel.

Wir lönnten einen Ausdruck prägen für die einem Loch entsprechende „Anti-Zahl“ und diese Fahl (von umfassen oder Fraktal) nennen. Für diese Fahlen sollten genau dieselben Regeln gelten wie für die Zahlen, also vor allem auch die Zugehörigkeit zu allen drei genannten wichtigsten Strukturen in jenem Sinne. Die Einzelheiten auszuführen muss dieser Physiker den Mathematikern überlassen. Wesentlich ist jedoch die Anwendbarkeit der Fahlen auf Naturverhältnisse genauso wie bei Zahlen. Es muss also ebenso natürliche, ganze, rationale, reelle, komplexe und weitere Fahlen geben wie wohlbekannt bei den klassischen Zahlen.

Mit diesen hier Fahlen genannten Strukturen ließe sich also mit natürlichen Strukturen entsprechend wie mit Teilchen rechnen. Im Prinzip wird damit „zunächst“ die klassische Mathematik der Teilchenphysik zugeordnet und diese Fraktomatik der modernen Feldphysik. Man kann an beiden Seiten völlig gleichwertig anfangen und wird jeweils irgendwann an das andere Ende gelangen.

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Letztes Update 10.06.2017